PROBLEMAS TIPO

PROBLEMA 1 

La suma de tres números enteros positivos consecutivos es una potencia de 3 


La suma de los siguientes tres números enteros positivos consecutivos es un múltiplo de 7. 

Determinar el menor valor que puede tener la suma de los seis números consecutivos considerados. 

PROBLEMA 2 

Las medidas de los ángulos de un triángulo ABC son tales que A < B < 90º < C. 

La recta perpendicular a la bisectriz del ángulo A, trazada por A, corta a la recta BC em el punto P. 

La recta perpendicular a la bisectriz del ángulo C, trazada por C, corta la recta AB en el punto Q. 

Sabiendo que los segmentos AP, CQ Y AC son iguales, calcular la medida interna de los ángulos del triángulo ABC. 

PROBLEMA 3 

x e y son dos números enteros positivos tales que: 

Determinar el mayor valor posible de y. 

PROBLEMA 4 

En un colegio se va a instrumentar un sistema de comunicación entre las oficinas de los adscriptos. Cada oficina debe estar en comunicación con cada una de las restantes (directamente o por medio de una tercera oficina). Cada oficina puede comunicarse directamente con a lo sumo tres de las oficinas restantes. 

Determinar la mayor cantidad de oficinas que pueden comunicarse en estas condiciones. 

PROBLEMA 5

Dividir 60 en 2 partes tales que tres veces la parte mayor exceda a 100 tanto como 8 veces la parte menor es excedida por 200. Indicar la parte mayor. 
PROBLEMA 6

Si subo una escalera de 5 en 5 doy cuatro pasos más que subiendo de 6 en 6. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? 

PROBLEMA 7

 La suma de dos números es 3 966, al dividir el primero entre el segundo el cociente es 6 y el residuo 207. La diferencia de estos números es: 

PROBLEMA 8

La suma, el producto y la diferencia de dos números son entre sí como 5; 12 y 1. Hallar el menor. 

PROBLEMA 9

 Al comprar 11 lapiceros y 9 libros gasté s/. 910. Si hubiera comprado 9 lapiceros y 11 libros habría gastado s/. 890. ¿Cuál es el costo de 3 lapiceros y 2 libros?

REFORZAMIENTO DE TRIGONOMETRÌA

1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:
1 3 rad

22π/5rad.

33π/10 rad.


2 Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1316°

2 10°

3 127

3 Sabiendo que cos α = ¼ , y que  270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.


4 Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.


5 Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas.


6 Calcula las razones de los siguientes ángulos:

1225

2 330°

3 2655°

4 −840º


7 Comprobar las identidades

1

2

3

4

5


8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.


9De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.


10De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.


11De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.


12Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.


13Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?


14Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°.


15Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.


16 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.


17 La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

EJERCICIOS DE ARITMÉTICA

1El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión


2Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.


3Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.


4El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.


5Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5


6Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.


7Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.


8Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.


9El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.


10Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

1. Se tiene un triangulo ABC en cuyo lado AC, se toma un punto G y en AB el punto M tal que el ángulo MGA es recto. En la prolongación de GM se toma el punto R tal que BM = MR. Hallar la medida del MBR.
2. En un triangulo ABC, las bisectrices interiores BP y CQ se cortan en O. en el interior del cuadrilátero AQOM se toma el punto R. calcular la medida del menor ángulo formado por las perpendiculares que de R se trazan a OQ y OP. Si la m∢A = 80^o
3. En un triangulo ABC se trazan la bisectriz interior AM y la ceviana interior BN. En el triangulo BNC se traza la bisectriz exterior interior NL. Si los ángulos ABN y NLC miden cada uno 2θ y el ángulo AMB mide 3θ. Hallar θ
4. En un triangulo isósceles ABC (AB = BC) se toman los puntos M en AB y N en BC tal que BM = MN = AN = AC
5. En la figura: m, n y p son números pares consecutivos y m < n < p. calcular c – b si a – d = 20^o.
   
6. En un triangulo rectángulo ABC, recto en B cuyo cateto mayor BC, una recta que pasa por B corta en M y N a las bisectrices exteriores de los ángulos A y C respectivamente tal que el ángulo CNB mide 60^o. Calcular la medida del mayor ángulo formado por dicha recta y AM
7. Se tiene el triangulo ABC donde la diferencia de los ángulos internos A y C es 48^o. calcular la medida del menor ángulo que forman la mediatriz de AC al interceptarse con la bisectriz del ángulo exterior del ángulo B.
8. En un triangulo ABC se trazan las bisectriz interior AF y la bisectriz del ángulo ACB, las cuales se cortan en G. calcular la medida del mayor ángulo que forman al cortarse la bisectriz del ángulo FGC y la bisectriz exterior del ángulo C si el ángulo ABC mide 80^o
9. En un triangulo rectángulo ABC, recto en B, la altura BH = 5, la bisectriz exterior del ángulo A corta en M a la prolongación de CB y en N a la prolongación de B. hallar NH si BM = 12
10. En la figura, calcular: a + b + c + d, si la suma de las medidas de los ángulos A, B y C es 110^o.
    

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2

Un tercio de un número: x/3

Un cuarto de un número: x/4

Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Un número par: 2x

Un número impar: 2x + 1

Dos números consecutivos: x y x + 1

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

La suma de dos números es 24: x y 24 − x

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x

El producto de dos números es 24: x y 24/x

El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x²y³z

Partes de un monomio

1Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

2Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

3Grado

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x²y³z es: 2 + 3 + 1 = 6

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x²y³ z es semejante a 5x²y³ z

RAZONAMIENTO MATEMÀTICO

En sentido amplio, se entiende por razonamiento a la facultad que permite resolver problemas, extraer conclusiones y aprender de manera consciente de los hechos, estableciendo conexiones causales y lógicas necesarias entre ellos. En sentido más restringido se puede hablar de diferentes tipos de razonamiento:

• El razonamiento argumentativo en tanto actividad mental se corresponde con la actividad lingüística de argumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión lingüística de un razonamiento.
• El razonamiento lógico o causal es un proceso de lógica mediante el cual, partiendo de uno o más juicios, se deriva la validez, la posibilidad o la falsedad de otro juicio distinto. El estudio de los argumentos corresponde a la lógica, de modo que a ella también le corresponde indirectamente el estudio del razonamiento. Por lo general, los juicios en que se basa un razonamiento expresan conocimientos ya adquiridos o, por lo menos, postulados como hipótesis. Es posible distinguir entre varios tipos de razonamiento lógico. Por ejemplo el razonamiento deductivo (estrictamente lógico), el razonamiento inductivo (donde interviene la probabilidad y la formulación de conjeturas) y razonamiento abductivo, entre otros.

• Razonamiento lógico

  En un sentido restringido, se llama razonamiento lógico al proceso mental de realizar una inferencia de una conclusión a partir de un conjunto de premisas. La conclusión puede no ser una consecuencia lógica de las premisas y aun así dar lugar a un razonamiento, ya que un mal razonamiento aún es un razonamiento en sentido amplio, no en el sentido de la lógica. Los razonamientos pueden ser válidos correctos o no válidos incorrectos dando por todo.
  En general, se considera válido un razonamiento cuando sus premisas ofrecen soporte suficiente a su conclusión. Puede discutirse el significado de "soporte suficiente", aunque cuando se trata de un razonamiento no deductivo no podemos hablar de validez sino de "fortaleza" o "debilidad" del razonamiento dependiendo de la solidez de las premisas, la conclusión podrá ser más o menos probable pero jamás necesaria, solo es aplicable el término "válido" a razonamientos del tipo deductivo. En el caso del razonamiento deductivo, el razonamiento es válido cuando la verdad de las premisas implica necesariamente la verdad de la conclusión.
  Los razonamientos no válidos que, sin embargo, parecen serlo, se denominan falacias.
  El razonamiento nos permite ampliar nuestros conocimientos sin tener que apelar a la experiencia. También sirve para justificar o aportar razones en favor de lo que conocemos o creemos conocer. En algunos casos, como en las matemáticas, el razonamiento nos permite demostrar lo que sabemos.
  El término razonamiento es el punto de separación entre el instinto y el pensamiento, el instinto es la reacción de cualquier ser vivo. Por otro lado el razonar nos hace analizar,y desarrollar un criterio propio, el razonar es a su vez la separación entre un ser vivo y el hombre.

• Razonamiento no lógico

  Existe otro tipo de razonamiento denominado razonamiento no lógico o informal, el cual no sólo se basa en premisas con una única alternativa correcta (razonamiento lógico-formal, el descrito anteriormente), sino que es más amplio en cuanto a soluciones, basándose en la experiencia y en el contexto. Los niveles educativos más altos suelen usar el razonamiento lógico, aunque no es excluyente. Algunos autores llaman a este tipo de razonamiento argumentación. Como ejemplo para ilustrar estos dos tipos de razonamiento, podemos situarnos en el caso de una clasificación de alimentos, el de tipo lógico-formal los ordenará por verduras, carnes, pescados, fruta, etc. en cambio el tipo informal lo hará según lo ordene en el frigorífico, según lo vaya cogiendo de la tienda, etc.
  En este razonamiento se generaliza para todos los elementos de un conjunto la propiedad observada en un número finito de casos. Ahora bien, la verdad de las premisas (10.000 observaciones favorables) no convierte en verdadera la conclusión, ya que en cualquier momento podría aparecer una excepción. De ahí que la conclusión de un razonamiento inductivo sólo pueda considerarse probable y, de hecho, la información que obtenemos por medio de esta modalidad de razonamiento es siempre una información incierta y discutible. El razonamiento sólo es una síntesis incompleta de todas las premisas.
  En un razonamiento inductivo válido, por lo tanto, es posible afirmar las premisas y, simultáneamente, negar la conclusión sin contradecirse. Acertar en la conclusión será una cuestión de probabilidades reales.

• Razonamiento en medicina

  Razonamiento clínico

  Razonamiento clínico es el término usado para describir a el proceso de inferencia de los clínicos expertos llevan a cabo para resolver un problema médico. En la medicina actual se acepta que el razonamiento clínico es un componente central de las competencia del médico y algunos lo definen como “el proceso por el cual los médicos encausan su pensamiento hacia un diagnóstico probable”. Se le considera una mezcla entre el razonamiento hipotético-deductivo y el reconocimiento de “patrones” clínicos.

  Razonamiento farmacológico

  Se acepta que el razonamiento farmacológico constituye el fundamento del uso racional de los fármacos en la prevención, diagnóstico y tratamiento de las enfermedades.

CALORÍAS

Es una unidad de energía del Sistema Técnico de Unidades, basada en el calor específico del agua.

—

—    ¿Cómo hacer el cálculo?

1. Si eres hombre multiplica tu peso por 25, si eres mujer por 23.

—

2. Con base a ese resultado haz el siguiente cálculo:

—

—Si tienes menos de 25 años súmale 300 calorías.

—Si tienes entre 25 y 45 años no realices ninguna operación.

—Si tienes entre 45 y 55 años réstale 100 calorías.

—Si tienes entre 55 y 65 años réstale  200 calorías.

—Y si tienes más de 65 años réstale 300 calorías.

TRIGONOMETRÌA

Es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es la medición de los triángulos.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas global de navegación por satélites.

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Razones trigonométricas inversas

Triángulo ABC proporcional con un ángulo inscrito en una circunferencia de centro A y radio 1

• La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

• La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

• La Cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.